همنهشتی و تئوری اعداد

اگر m یک عدد طبیعی و a وb دو عدد صحیح باشند، و m بتواند اختلاف بین a و b را بشمارد، آنگاه می‌گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m.
تعریف
اگر a و b اعدادی صحیح و m عددی طبیعی باشد گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m هرگاه( m|(b-a و می‌نویسیم به پیمانه (m) یا .
رابطه همنهشتی یک رایطه هم‌ارزی است پس این رابطه می‌تواند مجموعه اعداد صحیح را افراز کند. به مثال 2 در این زمینه توجه کنید.
ویژگی‌های همنهشتی
اگر b≡a به پیمانه m آنگاه به ازای عدد صحیح c داریم a+c ≡ b+c: به پیمانه m .
اگر b و a باهم همنهشت و (d=(a,b و c≡d به پیمانه m آنگاه ac≡bc به پیمانه. m
اگر b≡a به پیمانه m ، آنگاه به ازای n های طبیعی به پیمانه. m
به ازای تمام aوb های همنهشت به پیمانه m مجموع و حاصلضرب متناظرشان نیز باهم همنهشتند به پیمانه .m
اگر b≡a به پیمانه m و c عدد صحیحی باشد، آنگاه ac≡bc به پیمانه. m
قضایای مربوط به همنهشتی
اگر ac≡bc به پیمانه m و (m,c)=d آنگاهa≡b به پیمانه m/d.
لم مربوط به همنهشتی:
اگر a≡b به پیمانه m باشد و d یکی ازمقسوم علیه های m باشد آنگاه a≡b به پیمانه .d
اگر ac≡bc به پیمانه m و( m,c)=1 آنگاه a≡b به پیمانه. m
اگر r باقیمانده تقسیم a بر m باشد، انگاه، a≡r به پیمانه. m
مثال

مجموعه اعدادی را بیابید که اختلافشان بر عدد 2 بخش پذیر باشد.
جواب:
طبق الگوریتم تقسیم داریم a=2q+r , 0≤r<2 ؛ یعنی a=2q یا a=2q+1.
پس کلاس هم‌ارزی 0 یا اعداد بخش‌پذیر بر 2 عبارت است از

به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2 نیز همواره بر 2 بخش پذیر است.

منبع

Hits: 0