قواعد شمارش در آمار

قواعد شمارش در آمار برای محاسبه احتمال وقوع یک پیشامد نیاز به محاسبه تعداد اعضای آن و تعداد اعضای فضای نمونه داریم . اغلب او قات شمارش اعضای یک مجموعه کار دشواری است و برای انجام این کار نیاز به شناسایی برخی اصول و قوانین داریم که به بررسی آنها می پردازیم.
اصل ضرب فرض کنید یک کار را بتوان با دو عمل پیاپی A,B انجام داد اگر عمل A به m طریق و به دنبال آن عمل B بتواند به n طریق انجام پذیرد آنگاه این کار به mn طریق انجام می پذیرد.
مثال : با ارقام 0,1,2,3 چند عدد دو رقمی می توان نوشت در صورتی که
الف) تکرار ارقام مجاز باشد.
ب) تکرار ارقام مجاز نباشد.
حل نوشتن یک عدد دو رقمی شامل دو عمل انتخاب رقم دهگان (A) و انتخاب رقم یکان (B) می باشد. بنابراین
الف) رقم دهگان می نواند یکی از ارقام 3,2,1 به سه طریق و رقم یکان یکی از ارقام 3,2,1,0 به چهار طریق باشد. بنابراین

ب) رقم دهگان می تواند یکی از ارقام 3.2.1 به سه طریق و رقم یکان می تواند رقم 0 یا یکی از دو رقم باقی مانده از ارقام 3,2,1 باشد. بنابراین

اصل جمع فرض کنید یک کار را بتوان با دو عمل BیاA انجام داد.اگر عمل A به m طریق و عمل B به nطریق انجام پذیرد و این دو عمل نتوانند همزمان اتفاق بیفتند آن گاه این کار به m + n طریق انجام می پذیرد.
مثال به چند طریق می نوان از بین 4 دانشجوی کامپیوتر و 5 دانشجوی ریاضی دو دانشجو را انتخاب کرد به طوری که نفر اول به عنوان سرگروه و نفر دوم به عنوان دستیار باشد و هر دو نفر از یک رشته باشند.
حل طبق اصل ضرب دو دانشجو از رشته کامپیوتر به 4 * 3 = 12 طریق یا از رشته ریاضی به 5 * 4= 20
طریق انتخاب می شوند . بنابراین طبق اصل جمع این دو نفر را می توان به 20 + 12 = 32 طریق انتخاب کرد.

جایگشتها

در بعضی مسائل می خواهیم تعداد طریق قرارگرفتن 6 نفر در بک صف ویا تعداد طریق انتخاب 2 تفر از بين 6 نفر را به دست آوریم برای این منظور می توان از اصول شمارش و مفهوم جایگشت استفاده کرد.
ترتیبی را که می توان اشیا یک مجموعه را در کنار یکدیگر قرار داد یک جایگشت گویند.

در حالت کلی داریم

اگر n عنصر متمایز را بخواهیم در یک صف کنار یکدیگر قرار دهیم جایگشتهای مختلف این عناصر برابراست با
!n(n-1)(n-2)…(2)(1)=n
و اگر تکرار مجاز باشد جایگشتهای این عناصر برابراست با

مثال :
چهار پزشک و پنج مهندس می خواهند در یک صف کنار یکدیگر قرار گیرند
الف احتمال اینکه مهندس ها در یک صف و پزشک ها در صف دیگر قرار گیرند را بیابید.
ب احتمال اینکه دو مهندس بخصوص کنار هم قرار گیرند را بیابید.
حل :
در این حالت!n(s)=9 یعنی تعداد کل حالات قرار گرفتن این 9 نفر در صف می باشد.
الف ) اگر A پیشامد قرار گرفتن پزشک ها در یک صف و مهندس ها در طرف دیگ صف باشد چون شروع صف می تواند با پزشک ها یا مهندس ها باشد پس 4! 5!! n(A)= 2 و در نتیجه

ب ) اگر B پیشامد قرار گرفتن پزشک ها و مهندس ها یک در میان در صف باشد آن گاه مهندس ها به 5! طریق در صف قرار می گیرند وپزشک ها به 4! طریق در بین مهندس ها قرار می گیرند. پس (B)=5!4! P
و در نتیجه اگر از بین n عنصر متمایز بخواهیم r عنصر را انتخاب کرده و در یک صف قرار دهیم در این صورت
الف – اگر تکرار عناصر مجاز نباشد آنگاه تعداد راه های ممکن برابراست با:
ب اگر تکرار عناصر مجاز باشد آنگاه تعداد راههای ممکن برابراست با

اگر از بین n عنصر متمایز بخواهیم r عنصر را انتخاب کنبم به طوری که ترتیب انتخاب مهم نباشد در این صورت
الف – اگر تکرار عناصر مجاز نباشد آنگاه تعداد راه های ممکن برابراست با

ب – اگر تكرار عناصر مجاز باشد آنگاه تعداد راه های ممکن برابراست با

مثال:
از بین 4 پزشک و 5 پرستار می خواهیم یک کمیته 4 نفری تشکیل دهیم .
احتمال اینکه اعضای کمیته شامل 2 پزشک و 2 پرستار باشد را بیابید .
حل:
چون در انتخاب افراد ترتیب مهم نیست بنابراین تعداد انتخاب 4 نفر از این 7 نفر برابراست با