آشنایی با مفاهیم: “انتزاع”، “تعریف و قرارداد” در ریاضی

زمانی ، در دوره های نخستین شکل گیری مفهوم عدد ، برای نام بردن سه درخت و سه گوسفند ، از دو واژه ی مختلف استفاده می کردند و وقتی می خواستند از سه مرد صحبت کنند ، واژه ی سومی را به کار می بردند و این ، امری طبیعی بود : درخت به گوسفند و هیچ کدام از آن ها به مرد شباهتی نداشت .
بسیار طول کشید تا بشر توانست وجه مشترکی بین « سه درخت » ، « سه گوسفند » و « سه مرد» پیدا کند و متوجه شود که در هر سه حالت با «تعدادی» برابر سر و کار دارد . ولی وقتی این درک – یعنی درک ” مقدار” و ” کمیت ” – به وجود آمد و بشر به مفهوم «سه» (بدون این که آن را وابسته به چیز مشخصی مثل « درخت » یا « نیزه» بکند) پی برد ، نخستین گام را در جهت ” انتزاع” برداشت .

علم ، بررسی های علمی و ذهن علمی ، بدون انتزاع ممکن نیست . علم ، در همان حال که روی پدیده ها و فرآیندهای مادی کار می کند و طبیعت ( و هم جامعه ) آزمایشگاه بزرگ آن است ، برای پی بردن به قانون های حاکم بر طبیعت ( و جامعه ) چاره ای جز انتزاع ندارد
« درخت سیب » یا « درخت سپیدار » در طبیعت وجود دارند. ولی وقتی به طور کلی از « درخت » صحبت می کنیم ، در واقع ویژگی مشترک بسیاری از روییدنی ها را در نظر گرفته ایم و به یک انتزاع دست زده ایم .
« رنگ زرد» یا « رنگ سرد» را می توان در طبیعت مشاهده کرد ، ولی وقتی به طور کلی از واژه ی «رنگ» نام می بریم ، به چنان ویژگی توجه داریم که در همه ی رنگ های موجود و قابل مشاهده ، مشترک است .
« کمیت » ، « مقدار» ، « اندازه» و « تعداد» ، بیان های مختلفی از یک نوع ویژگی هستند که در مورد هر جسم مادی و بسیاری از فرآیندهای مادی می تواند به کار رود .
وقتی از حجم کره ی زمین ، میزان محصول سالیانه ی فلان کشت زار ، سرعت حرکت مریخ به دور خورشید ، مقدار برق لازم برای حرکت قطار زیر زمینی و غیر آن صحبت می کنیم ، با همین ویژگی سر و کار داریم .
انتزاع ، در تحلیل آخر ، نه به معنای جدا شدن از طبیعت ، بلکه برای شناخت دقیق تر و کامل تر قانون های حاکم بر طبیعت است.
ریاضیات ، به طور عمده ، از راه انتزاع های متوالی ، به بررسی دو مفهوم « کمیت » و «شکل» جسم های مادی می پردازد .
در این جا ، وقتی از کره صحبت می شود ، بدون توجه به رنگ و جرم و دوام و وزن و دیگر ویژگی های جسم ، تمامی دقت روی شکل آن ( کروی بودن ) متمرکز می شود و قانون مندی هایی که از این جهت ، در آن وجود دارد ، مورد بررسی قرار می گیرد .
۲. وقتی می نویسیم ۵=۳+۲ ، هم با انتزاع سر و کار داریم و هم با قرارداد . از آن جا که نگفته ایم چه چیزهایی را با هم جمع کرده ایم ، یک انتزاع انجام داده ایم ، در اینجا با یک ویژگی کلی سر و کار داریم : از کنار هم گذاشتن « دو مداد» با « سه مداد» ، « پنج مداد»
به دست می آید ، همان طور که اگر « سه کیلومتر» راه را بعد از « دو کیلومتر » قبلی طی کنید ، روی هم « پنج کیلومتر» راه رفته اید .
ولی نشانه های « ۲ » ، « ۳ » ، « ۵ » ، « + » و « = » ، نشانه های قراردادی هستند . این که چرا نشانه ی « = » برای بیان
” برابری” به کار می رود ، به ریاضیات مربوط نیست !!! در این مورد باید به پژوهشی تاریخی دست زد و روشن کرد که چه « دلیل هایی » سرانجام به اینجا رسیده است که در بین همه ی ملت های جهان ، آن را به مفهوم «برابری » بگیرند .
« = » یک نماد است ، نمادی برای بیان : برابری . همانطور که « ۵ » هم یک نماد است ، نمادی برای بیان عدد ” پنج ” .
برای مطالعه ی ریاضیات ، باید نمادها ( یا قراردادها) را شناخت . شما تنها وقتی می توانید با نماد f(x) کار کنید که معنا و تعریف ان را بدانید .
a۲ نمادی است و a۲> نمادی دیگر و ، طبیعی است ، اگر «تعریف» و معنای آن ها را ندانید ، نمی توانید عمل های ریاضی را با آن ها انجام دهید .

یادداشت ۱ :

یادآوری این مطلب ضروری است که : در بسیاری موردها ، ریاضیات نمی تواند بدون توجه به سایر ویژگی های ماده ( یعنی بدون توجه به ویژگی هایی از ماده ، که در دانش های دیگر مورد مطالعه قرار می گیرند ) ، حکم های جزمی خود را در همه ی زمینه ها سازگار کند .
ریاضی دان می گوید ۲۰ = ۱۰+۱۰ ، ولی شیمی دان در عمل مشاهده می کند که از روی هم ریختن ۱۰ لیتر آب با ۱۰ لیتر الکل ، نه ۲۰ لیتر ، بلکه ۱۹ لیتر « آب و الکل » به دست می آید . در این جا ، اگر به حجم واقعی محلول نظر داشته باشیم ، باید با توجه به ویژگی های شیمیایی اب و الکل بگوییم : ۱۹ = ۱۰ + ۱۰ .
در ریاضیات مقدماتی ، بدون هیچ تردیدی حکم می کنیم ۲ = ۱ + ۱ . ولی اگر منظور از این «جمع» محاسبه ی نتیجه ی عمل های دو نیروی یک کیلوگرمی باشند که به طور عمود بر هم بر جسمی اثر می کنند ، آن وقت ، نیروی « مجموع» ( منظور برآیند نیروها یا منتجه است ) ، به جای ۲ کیلوگرم برابر ۴/۱ کیلوگرم می شود .
ریاضی دان ، در همان حال که با نیروی انتزاع و با یاری گرفتن از نیروی قانون های درونی ریاضیات ، جلو می رود و « حقیقت هایی» را کشف می کند ، باید دایما به جهان واقع ، به طبیعت و جامعه ، مراجعه کند و هر جا لازم باشد ، نتیجه گیری های خود را با « واقعیت های موجود » تطبیق دهد .

یادداشت ۲ :

ذهن آدمی چنان است که بدون دستگیره ی مادی نمی تواند درباره ی چیزی بیندیشد و کار کند و ، به همین مناسبت ، هر وقت که انتزاعی انجام می گیرد ، در واقع ، دستگیره ای مادی جانشین دستگیره ی مادی دیگر می شود. وقتی با کسی که عدد نویسی نمی داند ، از سیصد و هفتاد و دو درخت صحبت کنیم ، تصور مبهمی از انبوهی درخت در ذهن او به وجود می آید ، ولی برای کسی که عدد نویسی را می داند ، رقم های « ۳ » ، « ۷ » و «۲ » در ذهن او ظاهر می شوند و ، بدون این که به مقدار واقعی ۳۷۲ درخت توجه کند ، نماد ۳۷۲ در ذهن او مجسم می شود . در این جا ، نماد نوشتنی ۳۷۲ ، همان دستگیره ی مادی است که جانشین « درخت ها » شده است .
۳. برای تعریف ، از هیچ نمی توان آغاز کرد . هر تعریفی به ناچار باید بر پایه ی تعریف های ساده تری استوار باشد . مثلا شما نمی توانید ، عمل « جمع » را تعریف کنید . بیان هایی از نوع « افزودن دو عدد به یکدیگر » ، در واقع ، یک دور باطل است . زیرا کاری نکرده اید جر این که به جای واژه ی « جمع» از واژه ی معادل « افزودن» استفاده کرده اید . به این ترتیب ، چاره ای نداریم جز اینکه « عمل جمع» را به همان صورتی که «حس» می کنیم و کم و بیش همه ی ما درباره ی آن « تصوری» داریم ، بپذیریم. هر تلاشی برای تعریف « عمل جمع » سر آخر ، منجر به این می شود که بگوییم ” جمع یعنی جمع ” !!!
ولی ، وقتی که « عمل جمع» را ، بدون تعریف ، بپذیریم ، دیگر می توانیم عمل های « تفریق» و «ضرب» را به کمک آن تعریف کنیم :
a – b = c ، یعنی اگر b را با c جمع کنیم a بدست می آید .
a * b = c ، یعنی اگر b را a مرتبه با خودش جمع کنیم ، عدد c حاصل شود .

منبع